MATERI MATEMATIKA KALKULUS

MATRIKS

Definisi
Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom
dikatakan matriks A berukuran m x n


Matriks A dapat juga ditulis :
A = [aij]
• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama

Jenis – jenis Matriks

1. Matriks Diagonal
 Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu
aij = 0 untuk i  j
2. Matriks Skalar
 Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu
aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
3. Matriks Segitiga Atas
 Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol
4. Matriks Segitiga Bawah
 Matriks b.s. dengan elemen diatas diagonal utama adalah nol
5. Matriks Identitas
 Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu
aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
6. Matriks Nol
 Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

Operasi Matriks

Persamaan Dua Matriks
Penjumlahan Matriks
Perkalian Skalar dan Matriks
Transpose Matriks
Perkalian Matriks

Persamaan Dua Matriks

Definisi
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :
aij = bij, 1  i  m, 1  j  n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

Penjumlahan Matriks

Definisi
Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, maka jumlahan A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan
cij = aij + bi

Transpose Matriks
Definisi :
Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose dari A adalah matriks
At = [aijt] ukuran n x m

Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Ilustrasi




rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij




SIFAT - SIFAT OPERASI MATRIKS

I. Sifat Penjumlahan

Diberikan matriks A, B, dan C yang penjumlahannya terdefinisi.
1. A + B = B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C
3. Ada matriks nol, O, sedemikian hingga A + O = A
4. Untuk setiap matriks A, ada matriks -A sedemikian hingga A + (-A) = O. Matriks –A ini disebut dengan matriks invers terhadap penjumlahan

II. Sifat Perkalian

Diberikanmatriks A, B, dan C yang perkaliannya terdefinisi.
1. (AB)C = A(BC)
2. A(B + C) = AB + AC
3. (A + B)C = AC + BC
4. Ada matriks I sedemikian hingga AI = IA = A.
Matriks I disebut matriks identitas terhadap perkalian.

Sifat – Sifat Operasi Matriks

III. Sifat Perkalian Skalar & Matriks
Jika r dan s adalah bilangan real, dan A dan B adalah matriks, maka
1. r(sA) = (rs)A
2. (r + s)A = rA + sA
3. r(A + B) = rA + rB
4. A(rB) = r(AB) = (rA)B

Sifat – Sifat Operasi Matriks

IV. Sifat transpose
Jika r adalah skalar, dan A dan B adalah matriks, maka
1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (AB)t = BtAt
4. (rA)t = rAt

Suatu matriks A = [aij] dikatakan simetris jika At = A

Perpetration pada Matriks

a Jika A adalahmatriks berukuran n x n, maka
A0 = In
Sifat Perpangkatan :
Misal p dan q adalah bilangan bulat non negatif, dan A dan B adalah matriks, maka
1. ApAq = Ap+q
Misal A adalah matriks b.s. dan p adalah bil.bulat positif, maka :
2. (Ap)q = Apq
3. (AB)p = ApBp jika dan hanya jika AB = BA

iNVERS MATRIKS

Definisi
Matriks A berukuran n x n disebut invertible jika ada matriks B berukuran n x n sedemikian hingga :
AB = BA = In
Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak invertible.
Matriks B disebut invers dari A, dinotasikan A-1

Sifat invers matriks

1. Jika A invertible maka A-1 juga invertible, dan
(A-1)-1 = A
2. Jika A dan B invertible, maka AB juga invertible dan (AB)-1 = B-1 A-1
3. Jika A invertible, maka
(At)-1 = (A-1)t
4. Jika A1,A2,…,Ak adalah matriks – matriks invertible, maka A1A2…Ak juga invertible dan
(A1 A2…Ak)-1 = Ak-1 Ak-1-1…A1-1